Laskin.netissä.fi

Kaavakokoelma

Trigonometrian kaavat

Trigonometriset perusyhtälöt, summakaavat, sinilause ja kosinilause sekä tarkkojen arvojen taulukko.

MAA3 Geometria · MAA7 Trigonometriset funktiot

Määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa

Muistisääntö SOH-CAH-TOA: Sini = Otsa/Hypotenuusa, Kosini = Aisa/Hypotenuusa, Tangentti = Otsa/Aisa. Vastainen kateetti on kulmaa vastapäätä, viereinen sen vieressä.

sin α = vastainen kateetti / hypotenuusa
cos α = viereinen kateetti / hypotenuusa
tan α = vastainen kateetti / viereinen kateetti
tan α = sin α / cos α

Perusyhtälöt

sin²α + cos²α = 1
Trigonometrian perusyhtälö
1 + tan²α = 1 / cos²α
sin(−α) = −sin α
Sini on pariton funktio
cos(−α) = cos α
Kosini on parillinen funktio

Summa- ja erotuskaavat

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Huomaa merkin vaihtuminen
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)

Kaksinkertaisen kulman kaavat

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 2cos²α − 1
Sama kaava perusyhtälöllä muunnettuna
cos 2α = 1 − 2sin²α
tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α)

Kolmion ratkaisukaavat

Sinilause toimii kun tunnetaan kulma ja sitä vastaava sivu. Kosinilause kun tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, tai kaikki kolme sivua.

a / sin A = b / sin B = c / sin C
Sinilause
a² = b² + c² − 2bc · cos A
Kosinilause
A = ½ · a · b · sin C
Kolmion pinta-ala kahdesta sivusta ja välikulmasta

Tarkat arvot

Nämä kannattaa osata ulkoa. Sini kasvaa 0 → 1 ja kosini vähenee 1 → 0 välillä 0°–90°.

sin 0° = 0 cos 0° = 1 tan 0° = 0
sin 30° = 1/2 cos 30° = √3/2 tan 30° = 1/√3
sin 45° = √2/2 cos 45° = √2/2 tan 45° = 1
sin 60° = √3/2 cos 60° = 1/2 tan 60° = √3
sin 90° = 1 cos 90° = 0 tan 90° ei määritelty

Asteet ja radiaanit

180° = π rad
radiaanit = asteet × π / 180
asteet = radiaanit × 180 / π
30° = π/6 45° = π/4 60° = π/3 90° = π/2

Laske nämä käytännössä

→ Trigonometrialaskin→ Kolmiolaskin→ Graafilaskin→ Pythagoraan lause

Usein kysyttyä

Mikä on trigonometrian perusyhtälö?+

sin²α + cos²α = 1. Se seuraa suoraan Pythagoraan lauseesta yksikköympyrässä, jossa hypotenuusa on 1. Kaavaa käytetään jatkuvasti lausekkeiden sieventämiseen.

Milloin käytetään sinilausetta ja milloin kosinilausetta?+

Sinilause kun tunnetaan kulma ja sitä vastaava sivu sekä yksi muu tieto. Kosinilause kun tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, tai kaikki kolme sivua ja halutaan kulma.

Miten asteet muunnetaan radiaaneiksi?+

Kerro asteet luvulla π/180. Esimerkiksi 60° × π/180 = π/3. Toiseen suuntaan kerrotaan luvulla 180/π.

Miksi tan 90° ei ole määritelty?+

Koska tan α = sin α / cos α ja cos 90° = 0. Nollalla jakaminen ei ole määritelty, joten tangentilla on pystysuora asymptootti 90 asteen kohdalla.

Muut kaavakokoelmat

Derivointikaavat

Kaikki lukion derivointikaavat ja -säännöt yhdellä sivulla.

Integrointikaavat

Integroinnin perussäännöt ja yleisimpien funktioiden integraalit.

Geometrian kaavat

Pinta-alat, tilavuudet ja piirit kaikille tavallisille kuvioille.

Potenssi- ja logaritmikaavat

Potenssien ja logaritmien laskusäännöt sekä juurten muunnokset.