Pythagoraan lause

Mitä Pythagoraan lause sanoo

Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö:

a² + b² = c²

Missä a ja b ovat kateetit (suoraa kulmaa rajaavat sivut) ja c on hypotenuusa (pisin sivu, vastapäätä suoraa kulmaa).

Tunnetuin esimerkki: 3, 4, 5. Nimittäin 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Tämä on niin sanottu Pythagoraan kolmikko.

Historia

Lause on nimetty antiikin kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan (n. 570–495 eaa.) mukaan, mutta tieto siitä oli olemassa babylonialaisilla ja egyptiläisillä jo 1000 vuotta aikaisemmin. Babylonialaiset käyttivät 3-4-5-kolmiota maanmittauksessa.

Pythagoras tai hänen koulukuntansa antoi lauseelle ensimmäisen tunnetun matemaattisen todistuksen, mikä erottaa "tietämisen" "todistamisesta" — modernin matematiikan synnyn merkki.

Visuaalinen todistus

Yksinkertaisin todistus on geometrinen. Piirrä neliö, jonka sivu on (a + b). Sen pinta-ala on (a + b)². Aseta neliön sisään neljä yhtä suurta suorakulmaista kolmiota, joiden kateetit ovat a ja b. Niiden hypotenuusat (c) muodostavat neliön sisään pienemmän neliön, jonka pinta-ala on c².

Suuremman neliön ala on yhtä suuri kuin neljän kolmion ja keskellä olevan neliön alat yhteenlaskettuna:

(a + b)² = 4 × (½ab) + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

Käytännön sovellukset

1. Rakennus: lattian suorakulmaisuus

Kun rakennat lattiaa tai aitaa, varmistat suorakulman 3-4-5 -menetelmällä: mittaa toiselle sivulle 3 metriä ja toiselle 4 metriä, ja tarkista että nurkkien välinen etäisyys on tasan 5 metriä. Jos on, kulma on tarkalleen 90°.

2. Television näytön koko

Television "tuumat" tarkoittavat lävistäjän pituutta. 16:9 -television leveys (b) ja korkeus (h) suhtautuvat 16:9, ja lävistäjä d = √(b² + h²). 55-tuumaisen TV:n näytön leveys on noin 121,7 cm ja korkeus 68,5 cm.

3. Tikkaiden turvallisuus

4-1-sääntö: tikkaiden alapään etäisyys seinästä on neljäsosa tikkaiden pituudesta. Jos tikkaat ovat 4 metriä, alapää 1 metri seinästä. Tikkaiden tarvitsema vapaa korkeus seinästä lasketaan: h = √(4² − 1²) = √15 ≈ 3,87 m.

4. Navigointi

Jos kuljet pohjoiseen 3 km ja sitten itään 4 km, suora etäisyys lähtöpisteestä on √(3² + 4²) = 5 km. Tämä on perustana avaruuskoordinaatistossa toimivalle etäisyyden laskennalle.

Käänteinen Pythagoraan lause

Lause toimii myös toiseen suuntaan: jos kolmion sivuille pätee a² + b² = c², niin kolmio on suorakulmainen. Tätä käytetään käytännössä sen varmistamiseen, että rakenne on suorakulmainen — esimerkiksi tilapäisten teltta- tai näyttämörakenteiden pystytyksessä.

Yleisimmät Pythagoraan kolmikot

Pythagoraan kolmikko on kolme kokonaislukua (a, b, c), joille a² + b² = c². Yleisimmät:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25
• 9, 40, 41
• 20, 21, 29

Kun kerrot kolmikon kokonaisluvulla, saat uuden kolmikon: 3-4-5 × 2 = 6-8-10, × 3 = 9-12-15 jne.

Yleiset virheet

• Lause pätee VAIN suorakulmaisille kolmioille.Muille kolmioille käytä kosinilausetta: c² = a² + b² − 2ab×cos(C).
• Hypotenuusa on aina vastapäätä suoraa kulmaa.Ja aina pisin sivu. Jos lasket c²:n kateettien neliöistä, muista ottaa lopuksi neliöjuuri.
• Älä jätä neliöjuurta pois.a² + b² antaa hypotenuusan neliön, ei sitä itseään. Muista c = √(a² + b²).