Laskin.netissä.fi

Kaavakokoelma

Integrointikaavat

Integroinnin perussäännöt ja yleisimpien funktioiden integraalit. Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio, joten kaavat ovat derivointikaavat toiseen suuntaan luettuina.

MAA9 Integraalilaskenta

Perussäännöt

Määräämättömään integraaliin kuuluu aina vakio C, koska vakion derivaatta on nolla eikä sitä voi päätellä takaisin.

∫ c dx = cx + C
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
Pätee kun n ≠ −1
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
Tapaus n = −1
∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x) dx
∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx

Trigonometriset funktiot

∫ sin x dx = −cos x + C
Miinusmerkki tulee tähän
∫ cos x dx = sin x + C
∫ (1 / cos²x) dx = tan x + C
∫ (1 / √(1 − x²)) dx = arcsin x + C
∫ (1 / (1 + x²)) dx = arctan x + C

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C
∫ ln x dx = x · ln x − x + C
Saadaan osittaisintegroinnilla

Integrointimenetelmät

Kun integroitava ei ole suoraan taulukossa, käytetään sijoitusta tai osittaisintegrointia.

∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du
Sijoitus u = g(x) — ketjusäännön käänteisoperaatio
∫ u dv = uv − ∫ v du
Osittaisintegrointi — tulon derivointisäännön käänteisoperaatio

Määrätty integraali

Määrätty integraali on luku, ei funktio. Se kertoo käyrän ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan etumerkillisenä.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Analyysin peruslause, F on f:n integraalifunktio
∫ₐᵃ f(x) dx = 0
∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵦᵃ f(x) dx
Rajojen vaihto kääntää merkin
∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx
Väli voidaan jakaa osiin

Laske nämä käytännössä

→ Integraalilaskin→ Derivaattalaskin→ Graafilaskin→ Derivointikaavat

Usein kysyttyä

Miksi integraaliin lisätään aina + C?+

Koska vakion derivaatta on nolla, kaikki funktiot jotka eroavat toisistaan vain vakiolla ovat saman funktion integraalifunktioita. C edustaa tätä tuntematonta vakiota. Määrätyssä integraalissa C kumoutuu vähennyslaskussa, joten sitä ei tarvita.

Mikä on määrätyn ja määräämättömän integraalin ero?+

Määräämätön integraali ∫f(x)dx on funktio (plus vakio C). Määrätty integraali ∫ₐᵇf(x)dx on luku, joka saadaan sijoittamalla ylä- ja alaraja integraalifunktioon ja vähentämällä.

Voiko integraali olla negatiivinen?+

Kyllä. Jos käyrä kulkee x-akselin alapuolella, kyseisen osan integraali on negatiivinen. Jos halutaan geometrinen pinta-ala, integroidaan itseisarvo tai jaetaan väli nollakohdissa.

Milloin käytetään osittaisintegrointia?+

Kun integroitava on kahden erityyppisen funktion tulo, esimerkiksi x·eˣ tai x·sin x. Valitse u siksi osaksi joka yksinkertaistuu derivoitaessa.

Muut kaavakokoelmat

Derivointikaavat

Kaikki lukion derivointikaavat ja -säännöt yhdellä sivulla.

Trigonometrian kaavat

Trigonometriset perusyhtälöt, summakaavat ja kolmion ratkaisukaavat.

Geometrian kaavat

Pinta-alat, tilavuudet ja piirit kaikille tavallisille kuvioille.

Potenssi- ja logaritmikaavat

Potenssien ja logaritmien laskusäännöt sekä juurten muunnokset.