Laskin.netissä.fi

Kaavakokoelma

Geometrian kaavat

Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit sekä kappaleiden tilavuudet ja pinta-alat. Kaikki lukion geometriassa tarvittavat kaavat yhdellä sivulla.

MAA3 Geometria · MAB3 Geometria

Tasokuvioiden pinta-alat

Neliö: A = a²
Suorakulmio: A = a · b
Kolmio: A = ½ · kanta · korkeus
Suunnikas: A = kanta · korkeus
Puolisuunnikas: A = ½ · (a + b) · h
a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut
Ympyrä: A = π · r²
Ympyrän sektori: A = (α / 360°) · π · r²

Piirit ja kehät

Neliö: p = 4a
Suorakulmio: p = 2(a + b)
Kolmio: p = a + b + c
Ympyrä: p = 2πr = πd
Ympyrän kaari: b = (α / 360°) · 2πr

Kappaleiden tilavuudet

Huomaa toistuva kuvio: kartio ja pyramidi ovat kolmasosa vastaavasta lieriöstä tai särmiöstä.

Kuutio: V = a³
Suorakulmainen särmiö: V = a · b · c
Lieriö: V = π · r² · h
Kartio: V = ⅓ · π · r² · h
Pallo: V = (4/3) · π · r³
Pyramidi: V = ⅓ · pohjan ala · h

Kappaleiden pinta-alat

Kuutio: A = 6a²
Suorakulmainen särmiö: A = 2(ab + bc + ac)
Lieriö: A = 2πr² + 2πrh
Kaksi pohjaa plus vaippa
Kartio: A = πr² + πrs
s on sivujana
Pallo: A = 4πr²

Kolmion erityiskaavat

Pythagoraan lause: a² + b² = c²
Vain suorakulmaisessa kolmiossa
Heronin kaava: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
s = (a+b+c)/2
Kulmien summa = 180°
Tasasivuisen kolmion ala: A = (√3/4) · a²

Analyyttinen geometria

Pisteiden etäisyys: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Janan keskipiste: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Suoran kulmakerroin: k = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
Suoran yhtälö: y − y₁ = k(x − x₁)
Ympyrän yhtälö: (x−a)² + (y−b)² = r²
Keskipiste (a, b), säde r

Laske nämä käytännössä

→ Kolmiolaskin→ Ympyrälaskin→ Pallolaskin→ Lieriö- ja kartiolaskin

Usein kysyttyä

Miten ympyrän pinta-ala lasketaan?+

A = πr², jossa r on säde. Jos tiedät halkaisijan d, säde on d/2. Esimerkiksi jos halkaisija on 10, säde on 5 ja pinta-ala π × 25 ≈ 78,54.

Mikä on pallon tilavuuden kaava?+

V = (4/3)πr³. Pallon pinta-ala on A = 4πr². Huomaa että tilavuus riippuu säteen kuutiosta, joten säteen kaksinkertaistaminen kahdeksankertaistaa tilavuuden.

Miksi kartion tilavuus on kolmasosa lieriöstä?+

Sama pohja ja korkeus antavat kartiolle täsmälleen kolmasosan lieriön tilavuudesta. Tulos saadaan integroimalla, ja sama kolmasosasuhde pätee pyramidin ja särmiön välillä.

Milloin Pythagoraan lausetta voi käyttää?+

Vain suorakulmaisessa kolmiossa. Muissa kolmioissa käytetään kosinilausetta c² = a² + b² − 2ab·cos C, joka pelkistyy Pythagoraan lauseeksi kun C = 90°, koska cos 90° = 0.

Muut kaavakokoelmat

Derivointikaavat

Kaikki lukion derivointikaavat ja -säännöt yhdellä sivulla.

Integrointikaavat

Integroinnin perussäännöt ja yleisimpien funktioiden integraalit.

Trigonometrian kaavat

Trigonometriset perusyhtälöt, summakaavat ja kolmion ratkaisukaavat.

Potenssi- ja logaritmikaavat

Potenssien ja logaritmien laskusäännöt sekä juurten muunnokset.