Laskin.netissä.fi

Kaavakokoelma

Derivointikaavat

Kaikki lukion derivointikaavat yhdellä sivulla. Perussäännöt, funktiokohtaiset derivaatat ja yhdistetyn funktion ketjusääntö.

MAA6 Derivaatta · MAA7 · MAA8

Perussäännöt

Nämä neljä sääntöä kattavat suurimman osan lukion derivointitehtävistä. c tarkoittaa vakiota, f ja g funktioita.

(c)' = 0
Vakion derivaatta on nolla
(x)' = 1
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
Potenssisääntö, pätee kaikilla reaalisilla n
(c · f)' = c · f'
Vakiokerroin säilyy
(f + g)' = f' + g'
(f − g)' = f' − g'

Tulo, osamäärä ja ketju

Näitä tarvitaan heti kun funktio koostuu useammasta osasta. Ketjusääntö on näistä tärkein ja yleisimmin väärin sovellettu.

(f · g)' = f' · g + f · g'
Tulon derivointisääntö
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g²
Osamäärän derivointisääntö
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Ketjusääntö: ulkoa sisälle

Trigonometriset funktiot

(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
Huomaa miinusmerkki
(tan x)' = 1 / cos²x
(arcsin x)' = 1 / √(1 − x²)
(arccos x)' = −1 / √(1 − x²)
(arctan x)' = 1 / (1 + x²)

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

(eˣ)' = eˣ
Ainoa funktio joka on oma derivaattansa
(aˣ)' = aˣ · ln a
(ln x)' = 1 / x
Määritelty kun x > 0
(log_a x)' = 1 / (x · ln a)

Juuret ja käänteisluvut

Nämä ovat potenssisäännön erikoistapauksia — kirjoita ensin potenssimuotoon, sitten derivoi.

(√x)' = 1 / (2√x)
Koska √x = x^(1/2)
(1/x)' = −1 / x²
Koska 1/x = x⁻¹
(ⁿ√x)' = 1 / (n · x^((n−1)/n))

Laske nämä käytännössä

→ Derivaattalaskin→ Graafilaskin→ Raja-arvolaskin→ Derivoinnin perusteet

Usein kysyttyä

Mikä on tärkein derivointisääntö?+

Potenssisääntö (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ kattaa kaikki polynomit, jotka ovat suurin osa lukion tehtävistä. Heti sen perässä tulee ketjusääntö, jota tarvitaan aina kun funktio on toisen funktion sisällä.

Milloin tarvitaan ketjusääntöä?+

Aina kun derivoitava on yhdistetty funktio eli funktio funktion sisällä. Esimerkiksi sin(x²) tai (3x + 1)⁵. Derivoi ensin ulompi funktio, kerro sitten sisemmän derivaatalla.

Miksi cos x derivoituu miinus siniksi?+

Se seuraa suoraan derivaatan määritelmästä ja sinin ja kosinin summakaavoista. Käytännössä kannattaa vain muistaa merkkijärjestys: sin → cos → −sin → −cos → sin, eli neljän askeleen kierto.

Mitä derivaatta tarkoittaa geometrisesti?+

Derivaatta pisteessä on funktion kuvaajalle piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin siinä kohdassa. Positiivinen derivaatta tarkoittaa kasvavaa, negatiivinen vähenevää funktiota.

Muut kaavakokoelmat

Integrointikaavat

Integroinnin perussäännöt ja yleisimpien funktioiden integraalit.

Trigonometrian kaavat

Trigonometriset perusyhtälöt, summakaavat ja kolmion ratkaisukaavat.

Geometrian kaavat

Pinta-alat, tilavuudet ja piirit kaikille tavallisille kuvioille.

Potenssi- ja logaritmikaavat

Potenssien ja logaritmien laskusäännöt sekä juurten muunnokset.