Geometria
Vektorilaskin
Laske vektoreilla 2D- ja 3D-avaruudessa. Yhteen-, vähennyslasku, pistetulo, ristitulo, vektorin pituus ja kahden vektorin välinen kulma.
Vektorit lyhyesti
Vektori on suure, jolla on sekä suuruus (pituus) että suunta. Toisin kuin skalaari (esim. lämpötila, massa), vektorin kuvaamiseen tarvitaan useita lukuja. Esimerkkejä: paikka (3, 2), nopeus (10, 0, −5) m/s, voima.
Perusoperaatiot
- YhteenlaskuLasketaan komponenttiyhdessä: (a + b)ᵢ = aᵢ + bᵢ. Geometrisesti vektorien jatkaminen päästä päähän.
- Pistetulo (skalaari)a · b = |a| |b| cos(θ). Käytetään esim. työn laskentaan: W = F · s. Jos pistetulo = 0, vektorit ovat kohtisuorassa.
- Ristitulo (vektori, vain 3D)a × b on uusi vektori kohtisuoraan a ja b. Suunnan saa oikean käden säännöllä. Pituus |a × b| = |a| |b| sin(θ).
Esimerkki: pistetulo
Vektorit a = (1, 2, 3) ja b = (4, 5, 6). Pistetulo:
a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32
Esimerkki: ristitulo
Samoille vektoreille:
a × b = (2·6 − 3·5, 3·4 − 1·6, 1·5 − 2·4) = (−3, 6, −3)
Usein kysyttyä
Mikä on vektori?+
Vektori on suure, jolla on sekä suuruus että suunta. Geometrisesti se on suuntauttu jana. 2D-vektorilla on kaksi komponenttia (x, y), 3D-vektorilla kolme (x, y, z).
Mikä on pistetulo?+
Pistetulo (skalaaritulo) a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Tulos on skalaari (yksi luku). Sitä käytetään mm. työn laskemiseen fysiikassa: W = F·s.
Mikä on ristitulo?+
Ristitulo a×b on uusi vektori, joka on kohtisuorassa molempia a ja b vastaan. Sen pituus on |a||b|sin(θ). Käytetään mm. momenttien ja magneettikenttien laskennassa.
Miten lasken vektorin pituuden?+
|v| = √(x² + y² + z²). Eli summataan komponenttien neliöt ja otetaan neliöjuuri. Tämä on Pythagoran lause yleistettynä.
Miten lasken kahden vektorin välisen kulman?+
cos(θ) = (a·b) / (|a| · |b|). Tästä θ = arccos(...). Tulos on välillä 0°—180°.
Aiheeseen liittyvät
Trigonometrialaskin
Trigonometriset funktiot kaikilla kulmilla. Asteet ja radiaanit, käänteisfunktiot.
Kolmiolaskin
Laske kolmion pinta-ala, sivut, kulmat. Pythagoraan lause, sini- ja kosinilause.
Ympyrälaskin
Laske ympyrän pinta-ala, kehä, halkaisija ja säde yhdellä annetulla arvolla.
Suorakulmiolaskin
Suorakulmion ja neliön pinta-ala, piiri ja lävistäjä. Toimii kaikilla mittayksiköillä.
Talous- ja arkilaskureita: Laskee.com →