Neliöjuurilaskin

Neliöjuuritaulukko 1–20

Täydellisten neliöiden juuret ovat kokonaislukuja, muut irrationaalilukuja. Alla neljän desimaalin tarkkuudella.

Neliöt 1–25

Neliöiminen on neliöjuuren käänteisoperaatio. Näiden lukujen tunteminen ulkoa nopeuttaa juurten arviointia huomattavasti.

Miten neliöjuuri lasketaan käsin

Laskin antaa vastauksen sekunnissa, mutta menetelmän ymmärtäminen auttaa arvioimaan onko tulos järkevä. Käytännössä käytetään kahta tapaa.

1. Arviointi täydellisten neliöiden avulla

Etsi kaksi lähintä täydellistä neliötä, joiden väliin luku osuu. Juuri on niiden juurten välissä.

Paljonko on √30? 25 < 30 < 36 √25 = 5 ja √36 = 6 → √30 on välillä 5 ja 6 30 on lähempänä 25:tä kuin 36:ta, joten arvio noin 5,5. Tarkka arvo: 5,4772

2. Newtonin menetelmä

Tarkempi tapa, joka lähestyy oikeaa arvoa nopeasti. Lähde karkeasta arviosta ja toista kaavaa:

uusi = (vanha + luku / vanha) / 2

Lasketaan √30 alkuarviolla 5:

Kierros 1: (5 + 30/5) / 2 = (5 + 6) / 2 = 5,5 Kierros 2: (5,5 + 30/5,5) / 2 = (5,5 + 5,4545) / 2 = 5,4773 Kierros 3: (5,4773 + 30/5,4773) / 2 = 5,4772 Kolme kierrosta riittää neljän desimaalin tarkkuuteen.

Menetelmä toimii millä tahansa alkuarviolla — huono arvaus vain vaatii yhden kierroksen enemmän. Tarkkojen desimaalien määrä suunnilleen kaksinkertaistuu joka kierroksella.

Neliöjuuren sieventäminen

Lukiossa vastaus halutaan usein tarkassa muodossa eikä pyöristettynä desimaalina. Silloin juuri sievennetään etsimällä suurin täydellinen neliö, joka jakaa luvun.

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2 √72 = √(36 × 2) = 6√2 √48 = √(16 × 3) = 4√3 √200 = √(100 × 2) = 10√2

Sievennetty muoto on tarkka. Desimaaliesitys 7,0710678… on aina pyöristetty, koska √2 on irrationaaliluku.

Juurten laskusäännöt

• √a × √b = √(ab)
• √a / √b = √(a/b)
• √(a²) = |a|
• (√a)² = a, kun a ≥ 0
• √a = a^(1/2)
• ⁿ√a = a^(1/n)

Huomaa mitä säännöissä ei ole: √(a + b) ei ole √a + √b. Tämä on yleisin virhe juurilaskuissa. Esimerkiksi √(9 + 16) = √25 = 5, mutta √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Kuutiojuuri

Kuutiojuuri ∛a on luku, jonka kolmas potenssi on a. Toisin kuin neliöjuuri, kuutiojuuri on määritelty myös negatiivisille luvuille, koska negatiivinen luku kolmanteen potenssiin on negatiivinen.

∛(−8) = −2, koska (−2)³ = −8 √(−8) ei ole määritelty reaaliluvuissa

Missä neliöjuurta tarvitaan

• Pythagoraan lauseHypotenuusa c = √(a² + b²). Tämä on todennäköisesti yleisin syy laskea neliöjuuri koulussa.
• Toisen asteen yhtälöRatkaisukaavassa x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a diskriminantin juuri ratkaisee, montako ratkaisua yhtälöllä on.
• KeskihajontaTilastotieteessä keskihajonta on varianssin neliöjuuri.
• Etäisyys koordinaatistossaKahden pisteen etäisyys on √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Neliöjuuren ja n-juuren suhde

Neliöjuuri on toinen juuri, kuutiojuuri kolmas. Yleisesti n:s juuri tarkoittaa lukua, jonka n:s potenssi on alkuperäinen luku. Juuri voidaan aina kirjoittaa myös murtolukueksponenttina, mikä helpottaa laskusääntöjen soveltamista.

√x = x^(1/2) ∛x = x^(1/3) ⁿ√(x^m) = x^(m/n)